Principe de la méthode d'Euler

Problème

On considère une fonction \(f\) donnée, définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\).
Soit \(x_0\) et \(y_0\) deux réels avec \(x_0 \in I\).
On cherche à déterminer LA primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F(x_0)= y_0\). 
Autrement dit, on veut trouver la fonction \(F\) qui vérifie les conditions suivantes :  \(\begin{cases}F'(x)=f(x) \ \text{pour tout réel }x \in I \\ F(x_0)=y_0 \end{cases}\)

Un tel problème est appelé un problème de Cauchy, du nom du mathématicien Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), qui a largement contribué au développement des équations différentielles.

Lorsque l'on connaît une primitive de \(f\) (par exemple en utilisant les fonctions usuelles), on peut résoudre ce problème facilement. Il suffit alors d’ajouter une constante et d’utiliser la condition \(F(x_0)=y_0\) pour la déterminer précisément.
Mais il arrive que l’on ne puisse pas exprimer une primitive de \(f\) avec les fonctions usuelles étudiées au lycée. Dans ce cas, on peux utiliser des méthodes d’approximation numérique.

La méthode d'Euler est une méthode itérative qui permet de déterminer pas à pas une suite de points proches de ceux appartenant à la courbe de la fonction \(F\) cherchée et donc d'en obtenir une approximation graphique.

Cette méthode repose sur la propriété suivante, vue dans le chapitre sur les compléments sur la dérivation.

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\), \(a\) un réel de l'intervalle \(I\) et \(h\) un réel.
Si la fonction \(f\) est dérivable en \(a\), alors pour \(h\) proche de \(0\), on a l'approximation affine \(f(a+h)\approx f(a)+h\times f'(a)\).

En appliquant cette propriété à une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\), on obtient, pour un réel \(h\) proche de \(0\), \(F(a+h)\approx F(a)+h\times F'(a)\), ce qui donne, étant donné que \(F'=f\),  \(\boxed{F(a+h)\approx F(a)+h \times f(a)}\).

Principe de la méthode d'Euler

On fixe un pas \(\color{red}{h}>0\) proche de \(0\).

• On part du point \(\text{M}_0(\color{blue}{x_0}\,;\color{green}{y_0})\) de la courbe de la primitive \(F\) cherchée.
  
• On pose \(\color{blue}{x_1}=x_0+\color{red}{h}\) et \(\color{green}{y_1}=F(x_1) = F(x_0+\color{red}{h}) \approx F(x_0)+\color{red}{h}f(x_0)\). 
  On obtient un autre point \(\text{M}_1\left(\color{blue}{x_1}\,;\color{green}{y_1}\right)\) proche de la courbe de \(F\).
  
• On continue en posant \(\color{blue}{x_2}=x_1+\color{red}{h}\) et \(\color{green}{y_2}=F(\color{blue}{x_2})=F(x_1+\color{red}{h})\approx F(x_1)+\color{red}{h}f(x_1)\).
  On obtient un autre point \(\text{M}_2(\color{blue}{x_2}\,;\color{green}{y_2})\) proche de la courbe de \(F\).
  
• On réitère le procédé pour \(\color{blue}{x_3}\), \(\color{green}{y_3}\), \(\color{blue}{x_4}\), \(\color{green}{y_4}\), \(\color{blue}{x_5}\), \(\color{green}{y_5}\)…
  

La ligne polygonale reliant les points \(\text{M}_i\left(\color{blue}{x_i}\,;\color{green}{y_i}\right)\) constitue une approximation graphique de \(F\) qui sera d'autant plus précise que \(\color{red}{h}\) est petit.